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【続:数学入試問題】嘘つきパズルを知っていますか?Part2

  公開日:2017/12/03
最終更新日:2018/12/05

※この記事は約3分で読めます。

こんにちは、四谷学院の山中です。
本日も数学の入試問題についてのコラムをお届けします。

慶應でも出題された!?うそつきパズル

前回紹介した正直者とうそつきパズルですが、十年以上前ですが、慶應義塾大学が二年連続して出題したことがありました。

念のため繰り返しておきますが、「出るかもしれないから練習する」のはまず間違いなくムダですからね。こういう見慣れない問題が出てもあわてない、という心の準備だけしておきましょう。

今回ご紹介するのは2004年総合政策の出題です。

天使はつねに真実を述べ、悪魔はつねに嘘をつく。A, Bは悪魔か天使であることはわかっているが、どちらかはっきりしない。

Aがこういった。
「わたしが天使ならば、Bも天使です。」
この二人の正体は□□□である。

[選択肢]
1.A, Bともに天使 3.Aは悪魔、Bは天使
2.Aは天使、Bは悪魔 4.A, Bともに悪魔

さて、問題へはどのようにアプローチしたら良いでしょうか?

【解法】嘘つきパズルが入試で出たらこう考えよう

もし万が一、入試でこの問題に出会ったら、考え方は

Aが天使だと仮定

「わたしが天使ならばBも天使」は正しい

Aは天使だからBも天使
と考えて、この段階で1を埋めてしまうのが正しいです。その後「他の可能性はあるかな~」なんてのんきなことを考えるのは、戦場でポケモンGOをやるのと同じですから、正解が見えた時点で次に進みましょう。

ですがそれはそれとして、問題としてちゃんと考えてみましょう。

まず「pならばq」という命題について考えます。
「pならばq」であることが間違いとなるのは、「pであるがqでない」場合のみです。

例えば
「来年阪神タイガースがペナントレースで優勝したら、私は道頓堀に飛び降りる」

と発言した人がいたとして、この発言がうそとなるのは、
「来年阪神タイガースがペナントレースに優勝して、かつ、発言した人が道頓堀に飛び降りなかった場合だけ」
です。阪神が優勝しなかった場合は、道頓堀に飛び降りようが飛び降りなかろうが、うそではないということです。(でも飛び降りちゃダメですけどね)。

したがって、天使もしくは悪魔の発言に関する次の定理(!)が成り立ちます。

Th. 天使もしくは悪魔が、「わたしが天使ならば、p」と発言した場合、発言者は天使で、pは本当である。

詳細を書いてみるとこんな感じですね。

proof
「わたしが天使ならば、p」という発言をAとする。
Aがうそとなるのは、発言者が天使であり、かつpでない場合に限られる。
しかし、天使はうそをつけないので、Aはうそではない。
よってAは本当であるから、発言者は天使。
さらに、Aが本当で、発言者は天使であるから、pは本当である。[証明終]

ここで問題に戻ると
発言者Aは天使であり、上の定理でpにあたる「Bも天使」も正しいということが改めて分かりますね。従って1が正解、ということになるわけです。

【やってみよう!】うそつきパズル

では最後に、同じ設定で次の問題を解いてみてください。(・・・もちろん先に今日の課題を終えてからですよ!)

A, Bは悪魔か天使であることはわかっているが、どちらかはっきりしない。

Aがこういった。
「Bが天使ならば、私は悪魔ですよ!」

さて、AとBはそれぞれ天使、悪魔のいずれか。

ここまで読んだあなたなら、すぐに正解できますね。

正解はまた次回。

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